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title: 比例法
description: 比例法是一种数学解题方法，通过比例关系来解决实际问题。
keywords: 比例法, 数学解题, 比例关系, 公考，数量关系
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import BlurredAnswer from '@/components/ui/BlurredAnswer';




# 比例法

## 1、实质
相对关系（数学核心思想）

## 2、关键
乘除等式，三个量中必一个固定，两个相对关系

找出两种相关联的量并明确比例关系，固定的乘除等式关系，三个量中必须有一个量是固定的，另外两个量是相对关系。

### 2.1 反比例
若 $a \times b = k$（$k$ = 常数）
1. 当 $k$ 固定时，$a$ 和 $b$ 成反比
2. 当 $a$ 固定时，$k$ 和 $b$ 成正比；当 $b$ 固定时，$k$ 和 $a$ 成正比

### 2.2 正比例
若 $a \div b = k$（$k$ = 常数），则 $a$ 和 $b$ 成正比

> 特别注意：三个量中必须有一个量是固定的，这样另外两个量才会有相对关系。

实际应用：
- 路程 = 速度 × 时间
- 总量 = 效率 × 时间
- 溶剂 = 溶液 × 浓度
- 利润 = 成本 × 利润率

## 3、整体比例
$a_1 \times b_1 = k_1$ 和 $a_2 \times b_2 = k_2$

1. 当 $k_1 = k_2$ 时，相当于 $a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$，此时 $a_1 : a_2 = b_2 : b_1$，为反比关系
2. 当 $a_1 = a_2$ 时，$k_1 : k_2 = b_1 : b_2$
3. 当 $b_1 = b_2$ 时，$k_1 : k_2 = a_1 : a_2$

## 4、工程问题
工程问题、行程问题、排列组合并称为公考数量关系三大问题。

### 4.1 两大利器
1. 比例法
2. 特值法：假设工程量为1

假设工程量为1，工作总量作为解题突破口，1可以是1，也可以是某一值，最小公倍数。

### 4.2 核心要点
方程问题，用比例不用方程，用份数不用分数。

1. 本质：研究工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系问题。
2. 常用数量关系式：
   - 工作总量 = 工作效率 × 工作时间
   - 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
   - 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率

### 4.3 工程问题题型
1. 单人完成工程问题
2. 全程合作问题
3. 分阶段工程问题
4. 轮流合作型
5. 水管问题
6. 时间效率比例转化

## 5 差值比例
** $$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$$ **

表达形式一般为 a:b=c:d (分数表达式为 a/b=c/d)

两边同时减去 1，得 $$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$$

这里的 $$(a-b)$$ 和 $$(c-d)$$ 就是差值比例法的基本表达形式。

## 6 三量比例
** 甲:乙=2:3，乙:丙=4:5, 甲:乙:丙=8:12:15 **

遇到三个量，通过某一个量进行统一，建立比例关系。

1. 甲: 乙=2: 3
2. 乙: 丙=4: 5

那么甲: 乙: 丙=8: 12: 15 (1.扩大 4 倍，2.扩大 3 倍)

建立甲乙丙的比例，两次比例都有乙，通过乙进行"搭桥"统一成 12
(3，4 最小公倍数)。

**题目**  
某企业为全体员工定制工作服，请服装公司的裁缝量
体裁衣。裁缝每小时为52名男员工和35名女员工量尺寸。几小时后，刚好
量完所有女员工的尺寸，这时还有24名男员工没量。若男员工与女员工的人
数比为11：7，则该企业共有（   ）名员工。  
- A.720              
- C.900              
- B.810  
- D.1080 

**解析**  
<BlurredAnswer>
解法一：男女被量尺寸速度比52：35，员工人数比11：7=55：35，每小时女生量
完后，男生还剩55-52=3人，实际上一共剩了24人，说明量了24/3=8小
时，企业一共有（52+35）× 8+24=720。 
思路2：每小时女生量完后，男生还剩55-52=3份，共24人，则每份
24/3=8 人，共有（55+35）×8=720。

解法二：倍数方法
员工比例为11：7，则总人数是18的倍数，排除B和D。
根据“裁缝每小时为52名男员工和35名女员工量尺寸。几小时后，刚好
量完所有女员工的尺寸，这时还有24名男员工没量”说明答案需要减去24是52 + 35  = 87的倍数，只有A满足。
</BlurredAnswer>

### 7 恒值问题
#### 7.1 恒值问题

恒值问题是比例法中的一个重要概念。它涉及到在不同情况下，某个量保持不变，而其他量发生变化的情况。

#### 7.2 核心思想

1. 恒量对象在不同情况下代表的比例点不同
2. 将不同比例点化为相同数值来处理
3. 通常有一个量恒定不变（如单个对象、和不变、差不变）

> 例如：在"年龄问题"中，年龄差通常是不变的

#### 7.3 恒值比例法

在研究比例问题时，如果有一个量从头到尾都没有发生变化，我们可以利用这个对象所代表的比例点来求解。

关键步骤：
1. 识别恒定不变的量
2. 将不同情况下的比例点统一为相同数值
3. 分析其他量的变化

> **重要提示**：牢牢抓住不变量，统一它，然后观察其他量的变化！

**解题技巧**

利用公倍数等原理，统一恒值的份数，再求其他量。

$$
\text{恒值} = \text{常数} \times \text{份数}
$$

通过调整份数，可以使不同情况下的恒值在数值上保持一致，从而简化问题的分析和计算。


#### 7.4 溶液混合问题
**溶液和始终不变**

**题目**  
一个瓶中酒精与水的体积比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体
积比是4：1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多
少？
 
- A.31：9                    
- C.31：40                   
- B.7：2       
- D.20：11

**解析**  
<BlurredAnswer>
溶液混合，溶液和始终不变。 
两瓶酒精溶液和不变，两次比例分别是3：1和4：1，则第一瓶溶液和为
3+1=4 份，第二瓶溶液和为4+1=5份，将两瓶的溶液份数和都统一成20份（
和5的最小公倍数），则两瓶比例分别是15：5和16：4，混合后比例为
（15+16）：（5+4）=31：9
</BlurredAnswer>
  
#### 7.5 降价问题
**降价前后价格差不变**

**题目**  
甲乙两种商品的价格比是3：5，如果他们的价格
分别下降50元，它们的价格比是4：7，这两种商品原来的价格各为(  ) 
 
- A.300 元  500元                   
- C.450 元  750元                   
- B.375 元  625元        
- D.525 元  875元 

**解析**  
<BlurredAnswer>
方法一，恒值比例法，价格差不变。 
比例虽然变化，但价格差不变。之前是3：5，差2份，后面是4：7，差
3 份，统一“价格差”为最小公倍数6份，则前面是9：15，后面是8：14，
甲下降1份是50元，则原来分别是9×50=450，15×50=750 
方法二，数字特性法，两个分别都减去50要能被4和7整除。
</BlurredAnswer>

#### 7.6 三量比例法

**甲:乙=2:3，乙:丙=4:5, 甲:乙:丙=8:12:15**

遇到三个量，通过某一个量进行统一，建立比例关系。

1. 甲: 乙 = 2: 3
2. 乙: 丙 = 4: 5

那么甲: 乙: 丙 = 8: 12: 15 (1.扩大 4 倍，2.扩大 3 倍)

建立甲乙丙的比例，两次比例都有乙，通过乙进行"搭桥"统一成 12
(3，4 最小公倍数)。

**题目**  
一项工程有甲，乙，丙三个工程队共同完成需要22天，甲
队工作效率是乙队的二分之三倍，乙队3天的工作量是丙队2天工作量的三
分之二，三队同时开工，2天后，丙队被调往另一工地，那么甲乙再干多少天
才能完成该工程?  
 
- A.20                
- C.38               
- B.28     
- D.42 

**解析**  
<BlurredAnswer>
（1）甲效率是乙的二分之三倍，则甲乙效率比3：2， 
（2）3乙=2丙×2/3=4/3丙，则乙丙效率比4：9，可求出效率甲：乙：
丙=6：4：9，三人合作效率6+4+9=19，2天后丙离开，三人一起完成要22
天，则还剩下三人一起工作20天的量，即剩下工作量为19×20，需要完成的
时间为19×20/（6+4）=38。 
</BlurredAnswer>

**题目**  
千禧锻造厂要制造一批一定比例的锡铁金属合金，第
一次加入适量的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的4%，第二次加入同
样多的金属铁后，金属锡的含量占总重3%，如果第三次再加入同样多的金属
铁后，此时金属锡的含量占总重量的百分比是（ ） 
- A.2.5%                    
- C.2.7%                    
- B.2.4%        
- D.2.8%
 
**解析**  
<BlurredAnswer>
恒值比例法，锡的量始终不变，统一“锡”的份数。 
第一次占比4/100，第二次3/100，假设锡为12份，则锡第一次占比
12/300，第二次占比12/400，铁增加了100，则第三次铁再加100为500，此
时锡比例12/500=2.4%。
</BlurredAnswer>

**题目**  
股民甲和乙分别持有同-一家公司的股票。如果乙将自己
的10000股转给甲，则此时甲持有该股票的份额是乙的3倍；如果甲将自己
的1000股转给乙，则此时乙持有该股票的份额比甲多6倍。那么，甲乙二人
共持有(   )股该公司股票。 
- A.6400                      
- C.17800                     
- B.17600         
- D.28800

**解析**  
<BlurredAnswer>
恒值比例法，股票和不变。 
（1）不管甲转给乙，还是乙转给甲，总股票不变，统一股票和的份数。 
（2）第一次3：1，股票份数和为3+1=4份，第二次多6倍，即乙是甲的
7 倍，甲乙1：7，股票份数和为7+1=8份，统一股票份数和为4和8的最小
公倍数即8份，则第一次比例6：2，第二次1：7。 
（3）甲的份数差。甲第一次6份，第二次1份，减少5份，5份差距为
（+10000）-（-1000）=11000，所以1份对应11000÷5=2200，那么二人总股
8 份=2200×8=17600，选B。

解法二：比例方法
假设总量为X，
在第一种分配中可以得到甲的真实数量为 $$ \frac{3X}{4} - 10000 $$，
乙的真实数量为 $$ \frac{X}{4} + 10000 $$，  
在第二种分配中，得到数量关系 $$ \frac{X}{4} + 10000 + 1000= 7 \times ( \frac{3X}{4} - 10000 -1000) $$，
解方程，得到 $$ X = 17600 $$

</BlurredAnswer>

#### 7.7 和、差比例法
**先求出份数和、份数差，再求其他**

**题目**  
某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5
为铝，1/3为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600
吨。问该公司镍的产量为多少吨?
- A.800                  
- C.1000                 
- B.600       
- D.1200 

**解析**  
<BlurredAnswer>
B。份数思维。设总量15份（最小公倍数），铝3份，铜5份，镍2份，则铅15
3-5-2=5 份，铅比铝多2份，即600，所以一份是300，则镍为600

</BlurredAnswer>

**题目**  
某公司计划采购一批电脑，正好赶上促销期，电脑打9
折出售，同样的预算可以比平时多买10台电脑。问该公司的预算在平时能多
买多少台电脑？  
- A.60                    
- C.80                    
- B.70   
- D.90 

**解析**  
<BlurredAnswer>
解法一：预算=单价×数量，单价比为10：9，则数量比为9：10，比平
时多一份，即10台，说明平时9份，即90台。

解法二：
假设降价前电脑一台为10元，经费可以买X台，则经费为$$10X$$   
降价后电脑一台为9元，经费可以买$$X+10$$台，则经费为$$9(X+10)$$   
$$10X=9(X+10)$$，解得$$X=90$$
</BlurredAnswer>

##### 7.7.1 速度份数差，求出路程

**题目**  
甲乙两辆清洁车执行东西两城的公路清洁任务，甲车
单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东西两城相向开
出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米，东西两城相距多少千米?   
- A.60                    
- C.90                    
- B.75         
- D.135 

**解析**  
<BlurredAnswer>
比值份数差，求总数和。 
甲乙时间比10：15=2：3，效率比3：2，甲比乙效率多1份，甲比乙多
扫15千米，则1份=15千米，则甲乙效率和5份即75千米。 
</BlurredAnswer>


##### 7.7.2 时间份数和，求出路程

**题目**  
一人从甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑
车速度比公交慢50%，如果一个人坐公车从甲地到乙地，再从乙地步行回到甲
地一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间? 


**解析**  
<BlurredAnswer>
赋值法+比例法。题干都是比例，可考虑赋值法。 
（1）75%=3/4，假设骑车4份，步行1份，公交8份。 
（2）从甲到乙，坐公交速度是8，回来步行速度是1，速度比是8：1，
时间比是1：8，一共9份，一个半小时90分钟，则1份为10分钟，说明公
交车一趟需10分钟。

思路1：根据赋值的速度，求路程，路程10×8=80，则骑车80/4=20分
钟 
思路2：直接比例份数法，公交和骑车速度比8：4=2：1，则时间比应是
1：2，公交要10分钟，骑车20分钟 
</BlurredAnswer>

**题目**  
某项工程计划300天完成，开工100天后，由于人员
减少，工作效率下降了20%，完成该工程比原计划推迟多少天？ 


**解析**  
<BlurredAnswer>
赋值法：假设每天效率为1，总工程为300，开工100天后剩
200，效率是0.8，200/0.8=250天，多50天
</BlurredAnswer>

**题目**  
一口水井，在不渗水的情况下，甲抽水机用4小时可
将水抽完，乙抽水机用6小时可将水抽完。现用甲、乙两台抽水机同时抽
水，但由于渗水，结果用了3小时才将水抽完。问在渗水的情况下，用乙抽
水机单独抽，需几小时抽完？  


**解析**  
<BlurredAnswer>
方法1，赋值法，工程量赋值12，效率甲3，乙2，甲乙效率
和是5，但实际是4，说明渗水-1，乙单独需12/（2-1）=12
</BlurredAnswer>